2013/14 Analisi 1
a.a. 2013/2014, Università degli Studi di Trieste, Dipartimento di Matematica e Geoscienze, Corso di Studi in Fisica e in Matematica.
- Incontri con il Tutor - Calendario
- Il corso prevede incontri settimanali con il Tutor Dott.ssa Giulia Zanier.
- Esercizi
2) Spazi metrici
3) Elementi di topologia
4) Esercizi di riepilogo I
5) Limiti di funzioni
6) Limiti e continuità di funzioni reali
7) Funzioni di due variabili: limiti
8) Funzioni di due variabili: continuità
9) Teoremi di Rolle, di Lagrange e applicazioni - Funzioni convesse
10) Formula di Taylor
- Programma del Corso
I numeri naturali e il principio di induzione. La formula del binomio di Newton. L'insieme R dei numeri reali. Estremo superiore e inferiore. La radice quadrata. Densità dei razionali e degli irrazionali. Teorema di Cantor sulle successioni di intervalli imbottigliati. Lo spazio Rn : prodotto scalare, norma, distanza.
2. Funzioni continue e limiti
Spazi metrici (cenni): intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi. Interno, chiusura e frontiera di un insieme. Continuità di funzioni tra spazi metrici, e in particolare delle funzioni di Rn in Rm. Somma, differenza, prodotto, quoziente, composizione di funzioni continue. Il teorema degli zeri. Esponenziale e logaritmo. Continuità della funzione inversa. Le funzioni trigonometriche. Punti di accumulazione. Limite di una funzione tra spazi metrici. Operazioni con i limiti. Formula di cambiamento di variabile. Teorema dei due carabinieri. Limiti delle restrizioni: limite destro e sinistro. Funzioni monotone. La retta ampliata e sue proprietà relative ai limiti. Limiti di successioni. Il numero di Nepero e il numero Pi greco. Limiti notevoli per l'esponenziale, il logaritmo e le funzioni trigonometriche. Proprieta' di Bolzano-Weierstrass. Compattezza. Massimi e minimi: il teorema di Weierstrass.
3. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale
La derivata come limite del rapporto incrementale. Derivate successive. Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzioni composte, inverse. Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Regole di de l'Hopital. Caratterizzazione delle funzioni derivabili monotone, convesse e concave. Studi di funzione. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Analiticità di alcune funzioni elementari.
- Libri di testo consigliati
E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Prima o Terza edizione) – Bollati Boringhieri, Torino, 1998
C Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica, Masson, Milano, 1993
G. Prodi: Analisi Matematica, Bollati Boringhieri, Torino, 1970
W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis – Third edition, McGraw Hill, Milano, 1990
Per il regolamento d’esame e per avvisi vari, si veda la pagina del Prof. Alessandro Fonda.
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